家庭主婦們經(jīng)常抱怨：好端端的土豆，一削皮就露出里邊褐黑色的一塊塊壞斑，待到把這些壞區全削去，一顆土豆便所剩甚小。唉！

    真可惜。奇怪的是，買(mǎi)土豆時(shí)任你怎么挑選，也總是避免不了有壞斑。這種倒霉的“內傷”在蘋(píng)果、梨等水果中也時(shí)有遇到。

    心細的學(xué)過(guò)力學(xué)的人，不難回答這個(gè)問(wèn)題。原來(lái)毛病出在包裝運輸中。在裝車(chē)運輸土豆時(shí)人們總想裝得多以提高效率，殊不知裝車(chē)時(shí)的碰撞卻給土豆造成許多內傷。裝得厚了，壓在底層的土豆可就倒了大霉，給壓壞了。蘋(píng)果、梨等水果運輸時(shí)多用箱子或簍子，每只箱簍的高度較小，所以壓壞的要少些，但要是車(chē)輛駛過(guò)？顛簸不平的路面，由于振動(dòng)加大了壓力，處在箱底的水果　還是難免遭殃。

    主婦們又要問(wèn)了，壓壞的土豆，裂的、破的，一眼就能看出來(lái)，可又怎樣解釋表面上是好的內部卻受傷的現象呢？

    土豆和水果的“內傷”問(wèn)題正好是一個(gè)典型的接觸問(wèn)題。

    假定相互接觸的土豆為兩個(gè)半徑為R的彈性球，兩個(gè)球之間作用壓力為P.這時(shí)接觸處由于球的變形已不再是一點(diǎn)，而是一個(gè)半徑為a的圓，根據接觸問(wèn)題的理論分析可以算出在球體內最大剪應力，而最大剪應力不在接觸面上卻在距接觸面，上述各式中α，β，γ都是常數。

    土豆和水果等許多材料都可以近似看為在最大剪應力超過(guò)一定限度就產(chǎn)生破壞的材料。

    上述公式表明最大剪應力不發(fā)生在表面而在深層。而且半徑和壓力愈大，深度也愈大。實(shí)際接觸物體形狀雖然各式各樣，但上述基本規律則是共同的， 這就是為什么土豆外表完好而內傷累累的原因。土豆裝運只要超過(guò)一定高度，總有一大層土豆難逃這種厄運， 每年由此而扔掉的土豆和水果以千噸計， 所以改善包裝和運輸條件才是拯救這批土豆的根本辦法。學(xué)一點(diǎn)接觸問(wèn)題是很有必要的。

    在日常生活中我們經(jīng)常遇到與接觸問(wèn)題有關(guān)的現象。

    《三國演義》上有一回說(shuō)到張翼德用柳條鞭笞督郵，可以想象那貪臟枉法的督郵被打得皮開(kāi)肉綻。在《水滸》中，我們又看到梁山好漢落在敵人之手，不免要挨殺威棒。三國時(shí)候的張飛畢竟是直性子，打人只用柳條，柳條的直徑一般較小，所以引起督郵的傷也不過(guò)皮肉之苦而已。宋朝的衙役們可比張飛狡猾多了，棍棒直徑自比柳條大了許多倍，受棒者傷在深層，甚至傷筋斷骨，而皮膚表面卻完好無(wú)損。

    到了法西斯的監獄里，發(fā)明了一種用橡皮包著(zhù)鋼絲的刑具，外觀(guān)柔軟，半徑又比較大，抽在人身上既不傷筋動(dòng)骨，外表又看不出異樣，但遭受到的內傷卻是痛徹骨髓的這恐怕是反動(dòng)統治者挖空心思利用科學(xué)成果的巧思吧。

    搟面，為了把面搟開(kāi)，面的深部破壞了或者發(fā)生了永久變形，面才能搟開(kāi)。面塊大就要用粗的搟，而搟餃子皮就必須用細搟仗了。這個(gè)道理用在壓路機上，你大概注意到壓路機的滾子有近一米多直徑吧，這就是希望它把路面的深層壓得結實(shí)。當然，除了半徑大外，壓路機還要重， 因為壓力P大了深部的應力也愈大。

    在工程技術(shù)中，接觸問(wèn)題的應用十分普遍。主要是如下三大類(lèi)問(wèn)題：第一類(lèi)是接觸應力造成表面或深層的破裂會(huì )引起機器或工程破壞的事故， 如軸承、齒輪、滾珠等表面剝落。這時(shí)應用接觸問(wèn)題的理論目的是為了要減少這種破裂以避免事故；第二類(lèi)利用接觸應力進(jìn)行加工，如軋鋼機的軋滾，壓力加工的沖頭與模具的設計，都要利用接觸問(wèn)題理論結果使被加工物件易于變形而加工工具卻十分耐用；第三類(lèi)問(wèn)題是碰撞問(wèn)題，車(chē)船飛機的碰撞可以看為一類(lèi)特殊的接觸問(wèn)題。例如高速飛機和空中的飛鳥(niǎo)相撞會(huì )引起嚴重的結構破壞而造成空難。

    正由于接觸問(wèn)題廣泛存在于工程技術(shù)中，所以它一直受到工程師與力學(xué)家的注意與深入研究。

    歷史上最早研究并獲得重要進(jìn)展的是德國人Hertz在1881年取得的。他假定兩個(gè)彈性體在接觸點(diǎn)鄰近為兩個(gè)二次曲面，在外部正壓力下接觸面為橢圓。橢圓的形狀、接觸面的壓力分布，以及物體內應力分布都可以表為解析表達式。這個(gè)問(wèn)題稱(chēng)為彈性力學(xué)的Hertz問(wèn)題。我們前面說(shuō)的兩個(gè)球接觸問(wèn)題就是它的特殊情形。

    其實(shí)，近代提出的接觸問(wèn)題更加復雜得多。各種不同形狀的物體和結構相接觸，考慮物體的彈塑性，蠕變及各種物理因素的變化，考慮接觸面間的摩擦力和滑動(dòng)，考慮物體慣性的碰撞接觸問(wèn)題等等不一而足。

    接觸問(wèn)題經(jīng)過(guò)一百多年的研究，已經(jīng)能近似解決許多實(shí)際問(wèn)題了，但它仍然存在許多十分因難的問(wèn)題尚待解決，對于比較復雜的問(wèn)題人們往往利用大型計算機去求數值解。即使如此，由于計算量很大，仍然沒(méi)法很好的解決。舉例說(shuō)，一個(gè)均勻的彈性球，從某一高度在重力作用下落到均勻彈性半空間上，它的彈跳高度如何？這個(gè)問(wèn)題看來(lái)是非常簡(jiǎn)單而又干凈的，但請試解一解，它仍然是力學(xué)界的難題。更不要說(shuō)十分復雜結構的碰撞接觸問(wèn)題了。

    接觸問(wèn)題之所以困難，是由于它實(shí)質(zhì)上是一類(lèi)非線(xiàn)性問(wèn)題。我們知道經(jīng)典彈性力學(xué)大部分是線(xiàn)性的，線(xiàn)性彈性問(wèn)題的提法是在給定邊界上，應力或位移為已知的條件下求解一組彈性力學(xué)線(xiàn)性方程。而在接觸問(wèn)題中，接觸邊界的應力位移是待求的，而邊界上的位移和應力以及邊界本身又依賴(lài)于問(wèn)題在物體內部的應力與位移。這種困難問(wèn)題，隨著(zhù)工程技術(shù)的發(fā)展不斷提出新的挑戰，迫使人們去進(jìn)行更深入的研究，它構成了彈性力學(xué)、結構力學(xué)和計算固體力學(xué)各個(gè)分支學(xué)科交叉研究的熱點(diǎn)課題，同時(shí)還吸引了不少數學(xué)家的注意。

    參考文獻
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    2 G.M.L.Gladwell著(zhù)，范天佑譯。 經(jīng)典彈性理論中的接觸問(wèn)題�！”本�：北京理工大學(xué)出版社，1991